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非常易懂的卷积的概念

感谢知乎与Blibli

1. 卷积概念解释:

(a)中,输入信号p(t)经过系统后得到输出信号h(t);
(b)中,输入信号较之于(a)延迟了τ,表示为p(t-τ),由于是LTI(线性时不变系统),输出信号也延迟τ,变为h(t-τ);
(c)、(d)两图阐释了LTI的叠加原理:若以p(t)+p(t-τ)为输入,则输出为h(t)+h(t-τ);
假设现在有一个输入信号u(t),将其表示为若干个我们刚刚见过的p(t)的叠加

2. 卷积在具体学科中的应用
(1)图像处理:用一个模板和一幅图像进行卷积,对于图像上的一个点,让模板的原点和该点重合,然后模板上的点和图像上对应的点相乘,然后各点的积相加,就得到了该点的卷积值。对图像上的每个点都这样处理。由于大多数模板都是对称的,所以模板不旋转。卷积是一种积分运算,用来求两个曲线重叠区域面积。可以看作加权求和,可以用来消除噪声、特征增强。
把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。
卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积,广泛应用于图像滤波。
卷积在数据处理中用来平滑,卷积有平滑效应和展宽效应.
(2) 信号处理:
1)卷积实质上是对信号进行滤波;
2)卷积就是用冲击函数表示激励函数,然后根据冲击响应求解系统的零状态响应。
卷积是求和(积分)。对于线性时不变的系统,输入可以分解成很多强度不同的冲激的和的形式(对于时域就是积分),那么输出也就是这些冲激分别作用到系统产生的响应的和(或者积分)。所以卷积的物理意义就是表达了时域中输入,系统冲激响应,以及输出之间的关系。
信号角度:卷积代表了线性系统对输入信号的响应方式,其输出就等于系统冲击函数和信号输入的卷积,只有符合叠加原理的系统,才有系统冲击函数的概念,从而卷积成为系统对输入在数学上运算的必然形式,冲击函数实际上是该问题的格林函数解。点激励源作为强加激励,求解某个线性问题的解,得到的格林函数即是系统冲击响应.所以在线性系统中,系统冲击响应与卷积存在着必然的联系。

3. 总结:
卷积就象一把锉刀,它主要是把一些非光滑的函数或算子光滑化。
信号处理的任务就是寻找和信号集合对应的一个集合,然后在另外一个集合中分析信号,Fourier变换就是一种,它建立了时域中每个信号函数与频域中的每个频谱函数的一一对应关系,这是元素之间的对应。那么运算之间的对应呢,在时域的加法对应频域中的加法,这就是FT线性性的体现;那么时域的乘法对应什么呢,最后得到的那个表达式我们就把它叫卷积,就是对应的频域的卷积。
简单来说,卷积是一种重叠关系,也就是说,所得到的结果反映了两个卷积函数的重叠部分。所以,用一个已知频段的函数卷积另一个频段很宽的函数,也就是对后者进行了滤波,后者跟前者重叠的频段才能很好地通过这个filter.

参考:http://blog.csdn.net/tiandijun/article/details/40080823

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